Un lugar geométrico, es un conjunto de puntos del plano que verifican una propiedad.
Por ejemplo, definimos la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de sus extremos.
La mediatriz en un triángulo es la mediatriz de sus lados. Las tres mediatrices de un triángulo convergen en un punto llamado circuncentro, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Una bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos lados. También es la recta que divide el ángulo en dos.
Las tres bisectrices de un triángulo convergen en un punto llamado incentro, el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Una altura es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Las tres alturas de un triángulo convergen en un punto llamado ortocentro.
Una mediana es la recta que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas convergen en un punto llamado baricentro, que es el centro de masas.
Se puede comprobar que las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son A(a1,a2), B(b1,b2) y C(c1,c2), son:
Las secciones cónicas son las intersecciones entre un cono y un plano que no pasa por el vértice. Son la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro. La distancia entre ese punto fijo y los demás se llama radio.
Si C(c1,c2) y el radio es r:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, siempre es la constante 2a.
d(P,F) + d(P,F’) = 2a
Si C(c1,c2) es el centro:
Se puede ver que a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse es el cociente e = c/a. Se comprueba que 0 < e < 1, y si c es cercana a 0, la elipse se parece a una circunferencia.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre la constante 2a. Tiene dos ramas.
|d(P,F) - d(P,F’)| = 2a
Si C(c1,c2) es el centro:
Se puede ver que a2 + b2 = c2 .Sus asíntotas son: y = ±bx/a
La excentricidad de una hipérbola es el cociente: e = c/a. Se puede ver que e > 1.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
d(P,F) = d(P,d) = p/2
Su fórmula es: y2 = 2px
Si el foco está en el eje Y, entonces la fórmula es x2 = 2py.
La excentricidad siempre es 1, e = 1.